Un ramo della geometria differenziale che soprattutto negli ultimi decenni ha subito un forte impulso e ha visto accrescere la mole dei propri risultati è quello che studia il flusso della curvatura media. Fino a relativamente poco tempo fa i geometri si erano dedicati allo studio di curve e superfici stazionarie; solo di recente il problema di varietà che si muovono e si deformano all'avanzare del tempo ha cominciato ad attrarre la loro attenzione, dimostrandosi imprevedibilmente ricco di risultati non solo in ambito teorico ma anche applicativo. Il presente testo può essere considerato un'introduzione all'argomento per chiunque sia interessato ad approfondirlo.